Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một trong những viên gạch nền tảng của toán học, một kiến thức không thể thiếu mà mỗi học sinh lớp 9 cần phải nắm vững. Những công thức này không chỉ là chìa khóa để giải nhanh các bài toán hình học, mà còn là cầu nối giúp bạn khám phá vẻ đẹp logic và kỳ diệu của toán học. Để học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất, việc thấu hiểu và ghi nhớ các hệ thức này là điều vô cùng quan trọng. Hãy cùng hethucluong.com khám phá những Hệ thức lượng trong tam giác vuông được tổng hợp dưới đây, để hành trình chinh phục toán học của bạn trở nên dễ dàng và thú vị hơn bao giờ hết!
1. Tam giác vuông
Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Tam giác ABC vuông tại A có:
- AB, AC: hai cạnh góc vuông.
- BC: cạnh huyền.
- AH: đường cao ứng với cạnh huyền.
- BH: hình chiếu của AB trên BC.
- CH: hình chiếu của AC trên BC
2. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông cần nhớ
Hệ thức 1
Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
Hệ thức 2
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Hệ thức 3
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Hệ thức 4
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông.
Tóm lược:
3. Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài toán tính độ dài liên quan đến cạnh góc vuông – cạnh huyền – hình chiếu
Áp dụng định lí Pytago và các hệ thức về cạnh góc vuông – cạnh huyền – đường cao – hình chiếu (hệ thức 1):
AB2 = BH.BC
AC2 = CH.BC
Ví dụ 1: Tìm x và y trong hình vẽ
Dạng 2: Bài toán tính độ dài liên quan đến đường cao – hình chiếu
Gợi ý: Áp dụng hệ thức về đường cao – hình chiếu (hệ thức 2)
AH2 = BH.HC
Ví dụ: Tìm x trong hình vẽ
Lời giải
Dạng 3: Bài toán tính độ dài liên quan đến đường cao – cạnh huyền – hai cạnh góc vuông
Áp dụng hệ thức về đường cao – cạnh huyền – hai cạnh góc vuông (hệ thức 3)
AH.BC = AB.AC
Ví dụ: Tìm x trong hình vẽ
Lời giải
Dạng 4: Bài toán tính độ dài liên quan đến đường cao – hai cạnh góc vuông
Áp dụng hệ thức về đường cao – cạnh huyền – hai cạnh góc vuông (hệ thức 4)
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$
Ví dụ: Tìm x trong hình vẽ
Lời giải
4. Bài tập tự luyện
Bài 1. Bạn Mây đi xe đạp từ nhà đến trường bằng xe đạp điện theo tuyến đường thẳng thường ngày. Đi được 1,8km thì gặp một đoạn đường đang sửa chữa nên bạn Mây phải đi vòng qua trạm xăng nên tính đến khi đến trường đã đi thêm 8km. Tính khoảng cách từ nhà bạn Mây đến trường theo tuyến đường thẳng thường ngày.
Bài 2. Hai bạn Vũ và Phúc đang ở hai đầu của một bể bơi, họ cùng bơi về phía bờ bên kia nơi có lá cờ. Bạn Vũ bơi với vận tốc 0,75m/s và bạn Phúc bơi với vận tốc 0,8m/s. Chiều rộng của bể là 12m và chiều dài là 25m. Tính thời gian mỗi bạn bơi tới lá cờ
Bài 3. Một cần cẩu có cánh tay dài 8,5m đang nâng một vật lên cao như hình vẽ bên dưới. Biết vật cách thân cần cẩu là 5,5m. Hãy tính độ cao tối đa mà cần cẩu có thể nâng vật đó lên. Làm tròn kết quả đến hàng chục.
Bài 4. Một cây cau bị bão quật ngã vào bức tường và gãy ngang thân vô tình tạo thành một tam giác vuông. Hai người ở hai bên bức tường đo được khoảng cách từ gốc cau đến tường và khoảng cách từ ngọn cau đến tường lần lượt là 80cm và 180cm. Tính chiều cao của bức tường và chiều cao của cây cau (không tính phần tàu lá) khi chưa bị bão quật ngã.
Bài 5. Cầu dây văng dạng rẻ quạt như hình vẽ bên dưới. Khoảng cách từ dây văng ngoài cùng đến trụ tháp lần lượt là 100m và 169m. Tính chiều cao của trụ tháp tính từ mặt nước biết cầu cách mặt nước 35m và hai dây văng ngoài cùng của một trụ tháp tạo thành một góc vuông.
Bài 6. Một người dùng cách ngắm thước eke để đo chiều cao của một cái cây với cách đo được mô phỏng trong hình dưới đây. Chiều cao tính từ chân đến mắt quan sát là 180cm và người này đứng thẳng cách gốc cây 240cm. Hãy tính chiều cao của cây
